7 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

Начала Евклида

Начала Евклида. Книга 3. Свойства круга

Предисловие главного редактора Портала Знаний:

В книге Гильберта и Кон-Фоссена «Наглядная геометрия» большое внимание уделяется окружности.

Мы предлагаем вашему вниманию третью книгу Евклида, которая посвящена замечательным свойствам круга.

Круг самая гармоничная и равномерно плавная фигура, оставаясь неизменной, она символизирует движение.

Как говорят художники, самое трудное изобразить круг, возьмите в руку карандаш и попробуйте изобразить круг, конечно, без помощи циркуля, вы увидите, что это совсем непросто.

Очень трудно добиться равномерно плавного изменения формы, хотя именно таким образом можно зримо ощутить гармонию!

  1. Равные круги суть те, у которых диаметры равны или прямые из центра равны A). (Заметим, что у Евклида нет термина радиус — луч, поэтому он говорит о прямых, проведенных из центра.)
  2. Утверждают, что прямая касается круга, если она встречает круг, но при продолжении не пересекает круга B).
  3. Утверждают, что круга касаются друг друга, если они, встречаясь, не пересекают друг друга.
  4. Утверждают, что в круге прямые равноотстоят от центра, если прямые перпендикуляры, проведённые к ним из центра, равны.
  5. Утверждают, что отстоит больше та, на которую падает больший перпендикуляр C).
  6. Сегмент круга есть фигура, заключающаяся между прямой и обводом круга.
  7. Угол же сегмента тот, который заключается между прямой и обводом круга D).
  8. Угол же в сегменте будет угол, заключающий между соединяющими прямыми, если взять какую-нибудь точку на обводе сегмента и соединить её прямыми с концами той прямой, которая является основанием сегмента.
  9. Если же заключающие угол прямые отсекают какой-нибудь обвод, то говорят, что угол на него опирается.
  10. Cектор же круга есть фигура, которая, если построить при центре круга угол, заключается между пряпрямыми, заключающими этот угол, и отсекаемым ими обводом.
  11. Подобные сегменты кругов суть вмещающие равные углы или в которых углы равны между собой (определение 8).

Заметим, что вместо термина окружность (то, что окружает круг, Евклид использует термин обвод круга).

Метод 1. Пересекающиеся отрезки.

  1. Начертите окружность. Сделайте это при помощи циркуля. Радиус (диаметр) круга может быть любым. Если окружность вам дана, новую окружность чертить не нужно.

2. Проведите хорду. Хорда – это отрезок, соединяющий любые две точки, лежащие на окружности, и не проходящий через центр окружности. Обозначьте эту хорду как АВ.

Проводите прямые и отрезки при помощи карандаша, чтобы иметь возможность стереть их после нахождения центра окружности. Не давите на карандаш, чтобы вам было легче стереть нарисованные линии

3. Проведите вторую хорду. Она должна быть параллельна и равна первой хорде АВ. Обозначьте эту хорду как CD.

Читать еще:  Спиральный жгут из бисера

4. Соедините точки А и С. Эта третья хорда АС должна проходить через центр окружности, но для его нахождения вам понадобится провести четвертую хорду.

5. Соедините точки B и D. Это четвертая хорда BD, которая должна пересекаться с третьей хордой AC.

6. Найдите центр окружности. Если вы правильно провели все отрезки (хорды), то центр окружности – это точка пересечения хорд AC и BD.Отметьте центр окружности ручкой или карандашом. Если вам нужно отметить только центр окружности, сотрите четыре хорды, которые вы провели ранее.

Предложение 2

Если на окружности взять какие-либо две точки, то прямая, соединяющая эти точки, попадёт внутрь круга.

Пусть круг будет ABC и па обводе его взяты какие-либо две точки А, В. Я утверждаю, что соединяющая А с В прямая попадёт внутрь круга (см. чертеж).

Действительно, пусть не так, но, если возможно, пусть упадёт вне круга, как АЕВ; возьмём центр круга ABC (предложение 1), пусть он будет D; соединим DA, DB и продолжим DIE.

Поскольку теперь DA равно DB, то, значит, и угол DAE равен DBE (предложение 5 книги I); и поскольку в треугольнике DBE продолжена одна сторона ЛЕВ, то, зназначит, угол DEB будет больше DAE. Угол же DAE равен DBE; значит, DEB больше DBE.

Больший же угол стягивается большей стороной(предложение 19 книги 1); значит, DB больше DE. DB же равна DI.

Значит, DI больше DE, меньшая большей, что невозможно.

Значит, соединяющая А с В прямая не попадёт вне круга. Подобным вот образом

докажем, что и не на самый обвод; значит, внутрь.

Значит, если на обводе круга взять две какие-либо точки, то прямая, их соединяющая, попадёт внутрь круга, что и требовалось доказать.

Метод 3. Поверочная и треугольная линейки

  1. К данной окружности проведите две касательные. Касательные можно провести к двум произвольным точкам окружности. Но вы облегчите себе работу, если проведете касательные под прямым или острым углом друг к другу

2. Теперь проведите еще две касательные, которые будут параллельны касательным, которые вы провели в предыдущем шаге.

Таким образом, проведенные четыре касательные образуют подобие параллелограмма или прямоугольника.

3. Проведите диагонали параллелограмма. Точка пересечения этих диагоналей является центром окружности.

4. Проверьте правильность нахождения центра окружности при помощи циркуля. Центр окружности расположен строго в точке пересечения диагоналей, только если вы не допустили ошибку при проведении параллельных касательных или диагоналей. Сотрите параллелограмм и его диагонали.

Здесь вы нашли геометрические способы нахождения центра окружности.

Читать еще:  Бетонная стяжка пола

Также центр окружности можно вычислить математически через дополнение до полного квадрата. Это работает в том случае, если вам дано уравнение окружности, а не сама окружность. Об уравнении окружности поговорим позже, если вы этого хотите.

Предложение 14

В круге равные прямые равно отстоят от центра и равноотстоящие от центра равны между собой.

Пусть будет круг ABCD и в нём равные прямые АВ, CD; я утверждаю, что АВ, CD равно отстоят от центра (см. чертеж).

Действительно, возьмём центр круга ABCD и пусть он будет Е, и из Е к АВ и CD проведём перпендикуляры El и ЕН и соединим АЕ, ЕС.

Поскольку теперь некоторая проведённая через центр прямая El некоторую не проходящую через центр прямую АВ сечёт под прямыми углами, то она сечёт её и пополам (предложение 3).

Значит, AI равна IB; значит, АВ удвоенная AI. Вследствие того же вот и CD удвоенная СН, и АВ равна CD; значит, и AI равна СИ.

И поскольку АЕ равна ЕС, то н квадрат на АЕ равен квадрату на ЕС.

Но квадрату на АЕ равны квадраты на Л/, El , ибо угол при I прямой (предложение 47 книги I); квадрату же на ЕС равны квадраты на ЕН, НС , ибо угол при Н прямой; значит, квадраты на AI и IE равны квадратам на СН, НЕ, из которых квадрат на AI равен квадрату на СН, ибо AI равна СН; значит, остающийся квадрат на IE равен квадрату на ЕН; значит, EI равна ЕН.

В круге же равноотстоящими от центра называются прямые, если проведённые из центра к ним перпендикуляры равны (определение 4); значит, АВ, CD равно отстоят от центра.

Но вот пусть прямые АВ, CD равно отстоят от центра, т. е. El равна ЕН. Я утверждаю, что и АВ равна CD.

Действительно, сделав те же самые построения, подобным же образом докажем, что АВ вдвое больше AF, a CD вдвое больше GH; и поскольку АЕ равна СЕ, то квадрат на АЕ равен квадрату на СЕ; но квадрату на АЕ равны квадраты на El, IA (предложение 47 книги 1).

Квадрату же на СЕ равны квадраты на ЕН, НС . Значит, квадраты на El, IA равны квадратам на ЕН, НС; из них квадрат на EI равен квадрату на ЕН, ибо ЕА равна ЕН; значит, остающийся квадрат на AI равен квадрату на СИ; значит, AI равна СН; и удвоенная AI будет АВ, удвоенная же СН будет CD; значит, АВ равна CD.

Значит, в круге равные прямые равно отстоят от центра и равноотстоящие от центра равны между собой, что и требовалось доказать.

Читать еще:  Конфеты с предсказаниями «Ночь перед Рождеством»

Метод 1. Пересекающиеся отрезки.

  1. Начертите окружность. Сделайте это при помощи циркуля. Радиус (диаметр) круга может быть любым. Если окружность вам дана, новую окружность чертить не нужно.

2. Проведите хорду. Хорда – это отрезок, соединяющий любые две точки, лежащие на окружности, и не проходящий через центр окружности. Обозначьте эту хорду как АВ.

Проводите прямые и отрезки при помощи карандаша, чтобы иметь возможность стереть их после нахождения центра окружности. Не давите на карандаш, чтобы вам было легче стереть нарисованные линии

3. Проведите вторую хорду. Она должна быть параллельна и равна первой хорде АВ. Обозначьте эту хорду как CD.

4. Соедините точки А и С. Эта третья хорда АС должна проходить через центр окружности, но для его нахождения вам понадобится провести четвертую хорду.

5. Соедините точки B и D. Это четвертая хорда BD, которая должна пересекаться с третьей хордой AC.

6. Найдите центр окружности. Если вы правильно провели все отрезки (хорды), то центр окружности – это точка пересечения хорд AC и BD.Отметьте центр окружности ручкой или карандашом. Если вам нужно отметить только центр окружности, сотрите четыре хорды, которые вы провели ранее.

Предложение 17

Из данной точки к данному кругу провести касательную прямую линию.

Пусть данная точка будет А, данный же круг BCD; вот требуется из точки А к кругу BCD провести касательную прямую линию (см. чертеж).

Действительно, возьмём центр круга Е, соединим АН, и из центра Е раствором ЕА опишем круг AIH, и из D под прямыми углами к ЕА проведём DI и соединим ЕI, АВ; я утверждаю, что из точки А к кругу BCD проведена касательная АВ.

Действительно, поскольку Е — центр кругов BCD, AIH, то значит, ЕА равна El, ED же равна ЕВ; вот две АЕ, ЕВ равны двум IE, ED; и они заключают общий угол при Е; значит, основание DI равно основанию АВ, и треугольник DEI равен треугольнику ЕВА, и остальные углы равны остальным (предложение 4 книги I); значит, угол EDI равен углу ЕВА.

Угол же EDI прямой; значит, и угол ЕВА прямой. И BE есть «из центра»; прямая же, проведённая к диаметру круга под прямыми углами в концах, касается круга (предложение 16, следствие); значит, АВ касается круга BCD.

Значит, из данной точки А к данному кругу BCD проведена касательная прямая линия АВ, что и требовалось сделать.

Заметим, свойство перпендикулярности касательной к радиусу было известно уже другу Платона Архиту Тарентскому (1-я половина IV в. до н. э.).

Ссылка на основную публикацию
Статьи c упоминанием слов:
Adblock
detector